В классической механике столкновения двух частиц полностью определяется их скоростями и прицельным расстоянием. В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с нею и прицельное расстояние теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклоняются на тот или иной угол. Мы говорим здесь о так называемых упругих столкновениях, при которых не происходит никаких превращений частиц или (если частица сложная) не меняется их внутреннее состояние.
Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче рассеяния одной частицы с приведенной массой в поле неподвижного силового центра. Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим через
. Он связан простыми формулами с углами
и
отклонения обеих частиц в "лабораторной" системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения покоилась:
где - массы частиц. В частности, если массы одинаковы, то получается просто
Сумма , т.е. частицы разлетаются под прямым углом.
Ниже в этой главе мы пользуемся везде системой координат, связанной с центром инерции, а под
подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц.
Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси описывается плоской волной, которую мы запишем в виде
, т.е. выберем нормировку при которой плотность потока в волне равна скорости частицы
. Рассеянные частицы описываются вдали от центра расходящейся сферической волной вида
, где
- некоторая функция угла рассеяния
. Эту функцию называют амплитудой рассеяния. Таким образом, точная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера с потенциальной энергией
, должна иметь на больших расстояниях асимптотический вид
Вероятность рассеянной частицы пройти в единицу времени пройти через элемент поверхности . Её отношение к плотности в падающей волне равно
Это величина имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния внутри телесного угла . Если положить
, то мы получим сечение
для рассеяния в интервале углов между и
.
Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле , должно, очевидно, быть аксиально симметричным относительно оси
- направления падающих частиц. Всякое такое решение может быть представлено в виде суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению в данном поле частиц с заданной энергией
и орбитальными моментами с различными величинами
и равными нулю
- проекциями (эти функции не зависят от азимутального угла вокруг оси
, т.е. аксиально-симметричны). Таким образом, искомая волновая функция имеет форму
где - постоянные, а
- радиальные функции, удовлетворяющие уравнению
Коэффициенты должны быть выбраны так, чтобы функция
имела на больших расстояниях асимптотический вид
. Покажем, что для этого надо положить
где - фазовые сдвиги функции
. Тем самым будет решена задача о выражении амплитуды рассеяния через эти фазы.
Асимптотический вид функции дается формулой
Подставив это выражение, а также в
, получим асимптотическое выражение волновой функции в виде
где введено обозначение
C другой стороны, разложение плоской волны после такого же преобразования есть
Мы видим, что в разности все члены, содержащие множители
, как и следовало выпадают. Для коэффициента же при
в этой разности, т.е. для амплитуды рассеяния находим
Это формула решает задачу о выражение амплитуды рассеяния через фазы .
Проинтегрировав по всем углам, мы получим полное сечение рассеяния
, представляющая собой отношение полной величины рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока в падающей волне. Подставляя
в интеграл
и помня, что полиномы Лежандра с различными взаимно ортогональны, а
получим следующее выражение для полного сечения:
Каждый из членов этой суммы представляет собой парциальное сечение для рассеяния частиц с заданным орбитальным моментом
. Отметим, что максимальное возможное значение этого сечения есть
Сравнив его с формулой
видим, что число частиц, рассеянных с моментом , может оказаться в 4 раза большим числа таких частиц в падающем потоке. Это обстоятельство является чисто квантовым эффектом, связанным с интерференцией между рассеянными и нерассеянными частицами.
Ландавшиц 606