Для определения вида этих матриц обратимся к оператору $\hat{H}^2$ :

$(-i\hbar c\alpha_i\nabla_i+\beta mc^2)(-i\hbar c\alpha_j\nabla_j+\beta mc^2)=$

$=\hbar^2c^2\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j-i\hbar mc^3(\alpha_i\beta+\beta\alpha_i)\nabla_i+m^2c^4\beta^2.$

Первое слагаемое в правой части удобно переписать в симметризованнной форме:

$\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j=\frac{\alpha_i\alpha_j\nabla_i\nabla_j+\alpha_j\alpha_i\nabla_j\nabla_i}{2}=\frac{\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i}{2}\nabla_i\nabla_j$ .

Таким образом, требуемое равенство

$\hat{H}^2=-\hbar^2c^2\Delta+m^2c^4$

имеет место, если матрицы-коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

$\begin{cases} \frac{\alpha_i\alpha_j-\alpha_j\alpha_i}{2}=\delta_{ij},\\ \beta^2=1,\\ \alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0. \end{cases}$

Воспользуемся, далее, тем, что оператор Гамильтона

$\hat{H}=c\boldsymbol{\alpha}\hat{\bold{p}}+\beta m c^2$

является эрмитовым. Это означает, что матрицы $\alpha_i$ и $\beta$ также должны быть эрмитовыми:

$\alpha^{+}_i=\alpha_i,~~~~\beta^{+}=\beta.$

Напомним, что любая эрмитовая матрица всегда может быть диагонализована с помощью подходящей унитарной матрицы. Следующее наблюдение состоит в том, что согласно первым двум условиям системы,