Было показано, что рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение. Это возможно при выполнении двух условий:

$|U|<<\frac{\hbar^2}{ma^2}$

или

$|U|<<\frac{\hbar v}{a}=\frac{\hbar^2}{ma^2}ka$ ,

где $a$ - радиус действия поля $U(r)$ , a $U$ - порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях. Из второго же видно, что оно во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц.

В соответствии с 45 ищем волновую функцию в виде $\psi=\psi^{(0)}+\psi^{(1)}$ , где $\psi^{(0)}=e^{i\vec{k}\vec{r}}$ соответствует падающей частице с волновым вектором $\vec{k}=\frac{\vec{p}}{\hbar}$ . Из формулы (45.3) имеем

$\psi^{(1)}(x,y,z)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int U(x',y',z')e^{i(\vec{k}\vec{r}'+kR)}\frac{dV'}{R}$ .

Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, введем радиус-вектор $\vec{R}_0$ в точку наблюдения $\psi^{(1)}$ и обозначим через $\vec{n}'$ единичный вектор в направлении $\vec{R}_0$ . Пусть радиус- вектор элемента объема $dV'$ есть $\vec{r}'$ , тогда $\vec{R}=\vec{R}_0-\vec{r}'$ . На больших расстояниях от центра $R_0>>r'$ , так что

$R=|\vec{R}_0-\vec{r}'|\approx R_0-\vec{r}'\vec{n}'$

Подставив это, получим следующее асимптотическое выражение для $\psi^{(1)}$ :

$\psi^{(1)}\approx -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\frac{e^{ikR_0}}{R_0}\int U(\vec{r}')e^{i(\vec{k}-\vec{k}')\vec{r}'}dV'$

где $\vec{k}'=k\vec{n}'$ - волновой вектор частицы после рассеяния. Сравнивая с определением амплитуды рассеяния, получим для нее выражение

$f=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int Ue^{-\vec{q}\vec{r}}dV$ ,

в котором мы произвели переобозначение переменных интегрирования и ввели вектор

$\vec{q}=\vec{k}'-\vec{k}$

с абсолютной величиной

$q=2k\sin\frac{\theta}{2}$ ,

где $\theta$ - угол между $\vec{k}$ и $\vec{k}'$ , т.е. угол рассеяния.

Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла $d0$ :

$d\sigma=\frac{m^2}{4\pi^2\hbar^4}\left|\int Ue^{-i\vec{q}\vec{r}}dV\right|^2do$

г) $U(r)=\frac{\alpha}{r^2}$

$f=-\frac{\pi m\alpha}{\hbar^2 q}=-\frac{\pi m \alpha}{2\hbar^2 k\sin(\theta/2)}$

Полное сечение рассеяния бесконечно, что связано с достаточно медленным убыванием потенциала на больших расстояниях;

$\frac{d\sigma}{d\Sigma}=|f|^2=\frac{\pi^2 m a^2}{8\hbar^2 E \sin^2(\theta/2)}$

Источники

Ландавшиц стр.619 Галичкий 2 стр.159

Сказать "Спасибо"

Найти в борновском приближении дифференциальное сечение рассеяния частиц кулоновским полем

Источники

Комментарии