Система Orphus

Система Orphus

Теория фазовых переходов II рода Ландау

Теория фазовых переходов II рода Ландау — общая теория, основанная на представлении о связи фазового перехода 2-го рода с изменением внутренней симметрии физической системы.

Основная идея

Внутреннюю симметрию удобно характеризовать параметром дальнего порядка. Для ферромагнетика существует векторный параметр порядка - спонтанная намагниченность. Для сверхпроводника существует комплексный параметр порядка, которую можно интерпретировать как волновую функцию куперовских пар. При переходе в более симметричную фазу этот параметр исчезает.

Рассмотрим тело в магнитном поле \bold{B}. При небольшом увеличении магнитного поля энергия единицы объема тела увеличивается на величину:

dE=\frac{1}{4\pi}\bold{H}d\bold{B}

Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии F(T,B) тела в магнитном поле записывается в виде

dF=-SdT-pdV+\mu dN+\frac{1}{4\pi}\bold{H}d\bold{B}.

Чтобы не заниматься проблемой размагничивающего фактора, будем считать, что рассматриваемое тело имеет форму длинного цилиндра и внешнее поле \bold{H} направлено вдоль оси цилиндра. Тогда напряженность \bold{H} внутри цилинтдра равна напряженности вне его, и получаем, что более удобно использовать в качестве независимой переменной не индукцию

\bold{B}=\bold{H}+4\pi \bold{M},

где \bold{M} - вектор намагниченности цилиндра, а напряженность \bold{H} и эффективную свободную энергию \mathcal{F}, которая определяется формулой

\mathcal{F}(T,H)=F(T,B)-\frac{1}{8\pi}H^2-\bold{HM},

для которой термодинамическое тождество принимает вид

d\mathcal{F}=-SdT-pdV+\mu dN-MdH.

В термодинамически равновесном состоянии намагниченность однозначно определяется видом функции \mathcal{F}(T,H)

M=-\left(\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial H}\right)_T.

У ферромагнетиков даже при отсутствии внешнего магнитного поля возможно существование спонтанного магнитного момента \bold{M}. Количественно эту формулировку можно выразить, заменив свободную энергию \mathcal{F}(T, H) на величину \mathcal{F}'(T, H, M), зависящую от параметра дольнего порядка M.

При заданной температуре равновесное значение спонтанной намагниченности определяется минимальным значением свободной энергии \mathcal{F}(T,H=0,M). Если этот минимум отвечает значению M=0, то тело находится в парамагнитном состоянии. Если опуститься по температуре ниже температуры Кюри T_c, то минимальному значению свободной энергии отвечает M\ne 0. Количественную формулировку этого явления можно получить, записав свободную энергию в форме разложения по степеням намагниченности - предполагается, что вещество изотропно, поэтому нечетных степеней M в этом разложении нет:

\mathcal{F}=F_0(T)+a(T)M^2+\frac{1}{2}b(T)M^4~~~~~~(1)

Цель теории Ландау - описать термодинамические и магнитные свойства ферромагнетика в окрестности точки Кюри. Вблизи этой точки намагниченность должна быть малой величиной, поэтому более высоких степеней намагниченности в разложении (1) можно не учитывать. Чтобы большие значения намагниченности были заведомо термодинамически невыгодно, необходимо b>0.

Минимум функции (1) определяется соотношениями

\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial M}=a(T)M+b(T)M^3=0,
\frac{\partial^2 \mathcal{F}}{\partial M^2}=a(T)+3b(T)M^2>0.

Если коэффициент a(T)>0, то минимум находится в начале координат M=0, и вещество парамагнитно.

Если a(T)<0, то минимум находиться в точке M=\sqrt{\frac{|a(T)|}{b(T)}} и вещество обладает спонтанным моментом.

Простейшей моделью, реализующей эту ситуацию, является модель

a(T)=\alpha(T-T_c),~~\alpha>0,~~b(T)=b=\mathrm{const}.

В этой модели намагниченность обращается в нуль по корневому закону

M=\begin{cases} \sqrt{\frac{\alpha}{b}(T_c-T)},~~T<T_c\\
M=0,~~T>T_c\end{cases}

Равновесное минимальное значение равновесной свободной энергии (1) равно

\mathcal{F}=\begin{cases}
F_0(T)-\frac{1}{2}\frac{\alpha^2}{b}(T_c-T)^2,~~T<T_c\\
F_0(T),~~T>T_c
\end{cases}

Энтропия тела S=-\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial T} равна

S=\begin{cases}
S_0(T)-\frac{\alpha^2}{b}(T_c-T),~~~~T<T_c;\\
S_0(T),~~~T>T_c.
\end{cases}

Получаем, что в ферромагнитном состоянии энтропия имеет отрицательную добавку. Это добавка приводит к скачку теплоемкости C(T)=T\frac{\partial S}{\partial T}:

C(T)=\begin{cases}
C_0(T)+\frac{\alpha^2}{b}T, T<T_c;\\
C_0(T), T<T_c.
\end{cases}

Ферромагнетик в магнитном поле

Рассмотрим поведение ферромагнетика в магнитном поле, воспользовавшись моделью Ландау. В слабом магнитном поле свободная энергия принимает вид

\mathcal{F}(T,H,M)=F_0(T)+a(T)M^2+\frac{1}{2}bM^4-HM

Найдем минимум этой функции

\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial M}=a(T)M+bM^4-H=0

В парамагнитной области, пренебрегая кубическим членом имеем

M=\frac{H}{a(T)}, T>T_c

и магнитная восприимчивость описывается законом Кюри-Вейсса

\varkappa=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{H=0}=\frac{1}{\alpha(T_c-T)},~~T>T_c

Ниже температуры Кюри равновесная намагниченность близка к спонтанному значению

M=M_0+\delta M

В линейном приближение с учетом (70), (71) имеем

a(T)\delta M+3bM^2_0\delta M-H=0;~~a(T)\delta M-3a(T)\delta M - H=0.
\delta M=\frac{H}{2|a(T)|}

Как и парамагнитной области, восприимчивость стремится к бесконечности, но с другим коэффициентом

\varkappa=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{H=0}=\frac{1}{2\alpha(T_c-T)},~~T>T_c

Статистическая теория, которая свободную энергию ферромагнетика вычисляет в приближении самосогласованного поля, воспроизводит результаты термодинамической теории Ландау и дает оценки термодинамических параметров.

В частности, из статистической теории следует, что температура Кюри по порядку величины равна энергии обменного взаимодействия электронов на соседних атомах.


вики - ссылка

Михеенков 17


Система Orphus

Комментарии