Система Orphus

Система Orphus

Статистическая независимость и закон больших чисел

Статистическая независимость

Две физические величины называются статистически независимыми(некоррелироваными) при условии

\langle\Delta A * \Delta B\rangle=0.

Два тела статистически независимы, если все физические величины, относящиеся к одному телу не коррелированы со всеми физическими величинами второго тела.

Закон больших чисел

Мысленно разобьем макроскопическое однородное тело на большое число M одинаковых статистически независимых подсистем. Средние значение энергий одинаковых подсистем \langle e_i\rangle равны друг другу. Поэтому средняя энергия всей системы есть

\langle E\rangle=\langle \sum^{M}_{i}e_i\rangle=M\langle e_1\rangle.

Вычислим дисперсию энергии системы:

\sigma^2=\langle \Delta E^2\rangle=\langle \sum_{i}\Delta e_i\sum_{j}\Delta e_j\rangle=
=\sum_i \langle (\Delta e_i)^2\rangle+\sum_{i\ne j}\langle \Delta e_i\Delta e_j\rangle.

Поскольку дисперсии у всех систем одинаковые, а корреляции флуктуаций независимых подсистем равны нулю, то

\sigma^2=M\sigma_1^2.

Отсюда находим, что относительная флуктуация энергии системы, равная

\frac{\sigma}{\langle E\rangle}=\frac{\sigma}{\langle e\rangle\sqrt{M}},

очень мала, если M>>1. Очевидно, что этот результат, который в математической статистике называется законом больших чисел, справедлив для любой физической величины.


Система Orphus

Комментарии