Рассмотрим однородную замкнутую систему, в которой объем и число частиц заданы, а остальные интегралы движения, такие как импульс, момент импульса, магнитный и электрический момент равны нулю.

Тогда все термодинамические величины зависят только от энергии $E$ и задача статистической физики сводится к установлению явного вида этой зависимости.

Число состояний в интервале от минимального значения энергии до $E$ :

$\Gamma\equiv\sum_{\alpha}\theta(E-E_{\alpha}).$

Плотность числа состояний:

$\frac{d\Gamma}{dE}\equiv\delta(E-E_{\alpha}).$

В статистической физике энтропия определяется как логарифм числа состояний

$\sigma(E)=\ln \Gamma(E)$

Система идеального газа - $N$ частиц в объеме $V$ .

Состояние системы характеризуется точкой в $6N$ - мерном фазовом пространстве

$\alpha=\alpha(\bold{r}_1,\ldots,\bold{r}_N;\bold{p}_1,\ldots,\bold{p}_N;)$

Согласно правилу Бора-Зоммерфельда дифференциал числа состояний выражается формулой:

$d\Gamma_\alpha=\frac{1}{N!}\prod^N_{i=1}\frac{d^3r_id^3p_i}{(2\pi\hbar)^3}$ .

Энергия всей системы выражается формулой

$E_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\frac{p_i^2}{2m}$

Полное число состояний системы с энергией не превышающей $E$ выражается формулой

$\Gamma(E)=\int d\Gamma_\alpha\theta(E-E_\alpha)=\frac{1}{N!}\int \prod^N_{i=1}\frac{d^3r_id^3p_i}{(2\pi\hbar)^3}\theta\left(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{p^2_i}{2m}\right).$

Интегрирование по пространственным координатам каждой частицы дает объем $V$ , и с учетом формулы Стильтиеса получаем

$\Gamma(E)=\left(\frac{Ve}{N(2\pi\hbar)^3}\right)^N J_{3N}(E)$ ,

где

$J_{3N}(E)=\int\prod^N_{i=1}d^3p_i\theta\left(E-\sum_{i=1}^{N}\frac{p_i^2}{2m}\right)$

Введем обозначение $E=P^2/2m$ , сократим в аргументе $\theta$ -функции множитель $1/2m$ , и перепишем интеграл (57) в форме объема $3N$ - мерного шара радиуса $P$ :

$J_{3N}(E)=V_{3N}(P)=\int d^{3N}p\theta\left(P^2-\sum_{i=1}^{N}p_i^2\right).$

Объем многомерного шара равен

$V_{n}(R)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}R^n\approx \left(\frac{2e\pi R^2}{n}\right)^{n/2}$ .

Используя эту формулу, находим логарифм числа состояний (56), т.е статистическую энтропию идеального газа:

$\sigma(E)=\ln \Gamma(E)=N\ln\left[\frac{Ve}{N(2\pi\hbar)^3}\left(\frac{4\pi emE}{3N}\right)^{n/2}\right]$ .

Сказать "Спасибо"

Число состояний, плотность числа состояний и статическая энтропия для равновесной замкнутой системы идеального газа

Комментарии