Уравнение Лиувилля

Эволюция матрицы плотности замкнутой системы во времени описывается уравнением Лиувилля.

В представлении Гейзенберга волновые функции и матрица плотности замкнутой системы от времени не зависят, и зависимость от времени переносится на операторы:

$\hat{A}(t)=\exp\left(i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\hat{A}\exp\left(-i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)$

При этом зависимость от времени среднего значения задается уравнением

$\langle A\rangle=\mathrm{Sp}\left(\hat{\rho}\exp\left(i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\hat{A}\exp\left(-i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\right)$

Эту формулу можно записать в видоизмененной форме

$\langle A\rangle=\mathrm{Sp}\left(\hat{A}\exp\left(i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\hat{\rho}\exp\left(-i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\right)=\mathrm{Sp}\left( \hat{\rho}(t)\hat{A}\right)$

В последнем уравнение зависимость от времени перенесена на матрицу плотности

$\hat{\rho}(t)=\exp\left(i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)\hat{\rho}\exp\left(-i\frac{\hat{H}t}{\hbar}\right)$

Дифференцирование этого уравнения по времени приводит к уравнению Лиувилля:

$\frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{\rho}]$ .

Сказать "Спасибо"

Уравнение Лиувилля

Комментарии