Рассмотрим спектр возбуждений в системе в модели Гейзенберга, гамильтониан которой представляет собой сумму обменных и зеемановских членов

$H=-J\sum_{j,\delta}\bold{S}_{j}\bold{S}_{j+\delta}-2\mu_0h\sum_{j}S_j^2$ .

Здесь $\bold{S}_j$ - оператор спина находящегося в узле решетки $j$ , которая для простоты считается кубической. $\delta$ - нумерует множество узлов решетки, ближайших к $j$ ; $h$ - магнитное поле направленное по оси $z$ . Предполагается, что взаимодействуют только ближайшие соседи. Компоненты спина связаны соотношением

$\bold{S}_j\bold{S}_j=S(S+1)$ .

Для перехода от спиновых операторов к бозевским выполним преобразование Холстейна - Примакова

$S^{+}_{j}=S^x_j+iS^y_j=(2S)^{1/2}\left( 1-\frac{a^{+}_ja_j}{2S}\right)^{1/2}a_j$ $S^{-}_{j}=S^x_j-iS^y_j=(2S)^{1/2}a^{+}_j\left( 1-\frac{a^{+}_ja_j}{2S}\right)^{1/2}$ $S^z=S-a^{+}_ja_j$

При этом мы требуем выполнение условия

$[a_j,a^{+}_i]=\delta_{ij}$

Нас будут интересовать слабовозбужденные состояния системы, когда

$\frac{\langle a^{+}_ja_j\rangle}{S}=\frac{\langle n_j\rangle}{S}<<1$ .

Поэтому преобразование Холстейна-Примакова приближенно запишется в виде

$S^{+}_{j}\approx (2S)^{1/2}a_j$ $S^{-}_{j}\approx (2S)^{1/2}a_j^{+}$ $S^{z}_{j}\approx S-a_j^{+}a_j$

По формуле (61) перейдем от операторов $a^{+}_j, a_j$ к новым операторам $a^{+}_k,~a_k$

$a_j=\frac{1}{N^{1/2}}\sum_k e^{-\bold{kj}}a_{\bold{k}},~~~a_j^+={\bold{j}}\frac{1}{N^{1/2}}\sum_k e^{-\bold{kj}}a_{\bold{k}}^{+}$ .

Легко проверить, используя (63) и (64), что имеет место преобразование

$a_k=\frac{1}{N^{1/2}}\sum_k e^{-\bold{kj}}a_{\bold{j}},~~~a_{\bold{k}}^+=\frac{1}{N^{1/2}}\sum_k e^{-\bold{kj}}a_{\bold{j}}^{+}$ .

Используя соотношения (32),(64),(26), получим, что

$[a_{k},a_{k}^{+}]=\delta_{kk'}$ , $[a_{k},a_{k'}]=0$ $[a_{k}^{+},a_{k'}^{+}]=0$ .

Поскольку

$S^x_iS^x_j+S^y_iS^y_j=\frac{S^+_iS^-_j+S^-_jS^+_i}{2},~~i\ne j$ ,

то

$\bold{S}_i\bold{S}_j=\frac{S^{+}_iS^{-}_j+S^{-}_jS^{+}_i}{2}+S^{z}_iS^{z}_j$

В результате, последовательно делая подстановки (34),(30),(31), получим

$H=-J\sum_{j,\delta}\left(\frac{S^{+}_jS^{-}_{j+\delta}+S^{-}_{j+\delta}S^{+}_j}{2}+S^{z}_jS^{z}_{j+\delta} \right)-2\mu_0 h\sum_{j}S^z_j=$ $=-J\sum_{j,\delta}[S(a_ja^{+}_{j+\delta}+a^{+}_{j+\delta}a_j)+(S-a_j^+a_j^+)(S-a_{j+\delta}^+a_{j+\delta}^+)]-2\mu_0 h\sum_{j}S_j^z=$ $=$

и опуская постоянный член получим

$H_0=\sum_k[2J_zS(1-\gamma_k)+2\mu_0h]a^{+}_ka_k=$ $=\sum_k\omega_ka^{+}_ka_k$

Таким образом, при низких температурах (когда число возбуждений мало и можно пренебречь их взаимодействием) гамильтониан (24) изоморфен системе независимых осцилляторов (спиновых волн). Этот вывод аналогичен результату, полученному для колебательного спектра кристаллов, для которых гамильтониан также сводится к системе независимых осцилляторов, а элементарные возбуждения являются фононами.

Для длиноволновых возбуждений, когда $|\bold{k}\delta|<<1$ , то

$z(1-\gamma_k)\approx \frac{1}{2}\sum_{\delta}(\bold{k}\delta)^2=(ka)^2$

Мы воспользовались тем, что для кубической решетки $|\delta_i|=a$

Поэтому элементарные возбуждения в модели Гейзенберга с ферромагнитным взаимодействием представляют собой магноны (спиновые волны) с квадратичным законом дисперсии

$\omega_k=2\mu_0H_0+2JS(ka)^2$

В отсутствие внешнего поля в соответствии с теоремой Голдстоуна спектр возбуждений является безщелевым.

Лекции 168

Сказать "Спасибо"

Спиновые волны в гейзенберговском ферромагнетике в представлении Хольштейна-Примакова

Комментарии