Предложили уравнение для вычисления плотности сверхпроводящих электронов $n_s$ , которая выражается через квадрат модуля волновой функции: $n_s=|\Psi(\bold{r})|^2$ .

Волновая функция $\Psi$ определяет кинетическую энергию сверхпроводящих электронов таким же образом, как и в обычном уравнении Шредингера.

Поэтому плотность кинетической энергии $\Upsilon_1$ выражается через произведения операторов обобщенного импульса

$\hat{\bold P}=-i\hbar\nabla-q^{*}\bold{A}(\bold{r})/c$ :

$\Upsilon_1(\bold{r},\hat{\bold{P}})=\frac{\left(\hat{\bold{P}}\Psi(\bold{r})\right)^*\left(\hat{\bold{P}}\Psi(\bold{r})\right)}{2\tilde{m}}$

где $\tilde{m}$ - масса сверхпроводящего электрона, $q^*$ - его заряд, $\bold{A}(\bold{r})$ - векторный потенциал стационарного магнитного поля

$\bold{h}(\bold{r})=\left[\nabla\bold{A}(\bold{r})\right]$ .

Два других слагаемых плотности энергии соответствуют общей теории фазовых переходов Ландау:

$\Upsilon_2(\bold{r})=a(T-T_c)|\Psi(\bold{r})|^2+\frac{b}{2}|\Psi(\bold{r})|^4.$

Функционал, который требуется минимизировать, имеет следующий вид:

$\int\left\{\Upsilon_1(\bold{r},-i\hbar\nabla-q^*\frac{\bold{A}}{c})+\Upsilon_2(\bold{r})+\frac{\left[\nabla \bold{A}\right]^2}{8\pi}\right\}d\bold{r}.$

Вариация этого функционала по векторному потенциалу $\bold{A}$ определяет уравнение магнетостатики:

$\left[\nabla\left[\nabla\bold{A}\right]\right]=\left[\nabla\bold{h}\right]=4\pi q^*\frac{\Psi^*\left(-i\hbar\nabla-q^*\bold{A}/c\right)\Psi}{2\tilde{m}c}+h.c.$

Горьков доказал, что $q^*=2e,~\tilde{m}=2m$ , и определил коэффициенты $\alpha$ и $b$ .

Вариация этого функционала по волновой функции $\Psi^*$ дает уравнение на $\Psi$ :

$\frac{(-i\hbar\nabla-2e\bold{A}/c)^2}{4m}\Psi+a(T-T_c)\Psi+b|\Psi|^2\Psi=0.$

Второе уравнение получаем из (111) с помощью операции комплексного сопряжения.

Зайцев 233

Сказать "Спасибо"

Теория Гинзбурга-Ландау как теория фазового перехода II рода

Комментарии