Распределение Максвелла по компонентам скорости

Представим вероятность того, что х-компонента скорости имеет значение в интервале от v_x до v_x + dv_x в виде

dp(v_x) = фи (v_x) dv_x

Вследствие равноправия всех направлений (изотропии газа) аналигичные распределения вероятности должны быть и для других компонент скорости.

dp(v_y) = фи (v_y) dv_y

dp(v_z) = фи (v_z) dv_z

Предполагая, что компоненты {v_x, v_y, v_z} - независимые случайные величины, запишем вероятность некоторого значения вектора скорости v:

dp(v_x, v_y, v_z) = фи (v_x) фи (v_y) фи (v_z) dv_x dv_y dv_z

с другой стороны,

dp(v_x, v_y, v_z) = d n_v / n = f(v) dv_x dv_y dv_z

f(v) = фи (v_x) фи (v_y) фи (v_z)

ln f(v) = ln фи (v_x) ln фи (v_y) ln фи (v_z)

Одновременно должно выполняться соотношение

v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2

продифференцируем уравнение с логарифмами по переменной v_x:

f'(v)/f(v) дельта v / дельта v_x = фи'(v_x)/фи(v_x)

Так как дельта v / дельта v_x = дельта(sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2))/дельта v_x = v_x/v, то

1/v f'(v)/f(v) = 1/v_x фи'(v_x)/фи(v_x)

Правая часть этого равенства не зависит от v_y и v_z, тогда как правая зависит.. Следовательно, обе стороны равенства должны быть постоянными.

1/v_x фи'(v_x)/фи(v_x) = -2 альфа =>

фи(v_x) = A exp(-альфа v_x^2)

Аналогично находим:

фи(v_y) = A exp(-альфа v_y^2)

фи(v_z) = A exp(-альфа v_z^2)

f(v) = A^3 exp(-альфа v^2)

dn_v = n A^3 exp(-альфа v^2) d^3 v

Константа А определяется из условия нормировки:

(интеграл) фи (v_x) dv_x == A (интеграл) exp(-альфа v_x^2/2)dv_x = 1

A = sqrt (альфа/pi)

dp(v_x) = sqrt(альфа/pi) exp(-альфа v_x^2) dv_x

dn_v = n(альфа/pi)^(3/2) exp(-альфа v^2) d^3 v

Найдём параметр альфа. Запишем среднюю кинетическую энергию молекул:

<e_кин> = 1/n (интеграл)mv^2/2 n(альфа/pi)^(3/2) exp(-альфа v^2) d^3 v

d^3 v = 4 pi v^2 dv

<e_кин> = 3m/(4 альфа)

Эта вкличина должна быть равна 3/2 kT, отсюда находим, что альфа = m/(2kT)

В однородном идеальном газе со средней плотностью n в равновесном состоянии число молекул, обладающих скоростями в интервале от v_x до v_x + dv_x, от v_y до v_y + dv_y, от v_z до v_z + dv_z определяется распределением Максвелла:

d n_v = n(m/(2 pi k T))^3/2 exp(-mv^2/(2kT))d^3v