Распределение Максвелла по энергии. Средняя энергия молекул, вылетающих в вакуум через малое отверстие в сосуде

Произведём в распределении Максвелла замену v = sqrt (2e/m), dv = de/sqrt(2me)

dn(e) = nF(e)de, (интеграл от нуля до бесконечности)F(e)de = 1, F(e) = 2/sqrt(pi(kT)^3) exp(-e/(kT))sqrt(e), где е - энергия молекулы.

Пусть в большом сосуде находится идеальный газ при температуре Т. В стенке сосуда проделано очень маленькое отверстие, через которое молекулы могут свободно вылетать в вакуум. Найдём среднюю кинетическую энергию вылетевшей молекулы.

Число молекул в единице объёма, имеющих скорости в интервале от v до v + dv, равно

dn = mФ(v)dv = 4 pi n exp (-mv^2/(2kT)) v^2 dv

В единицу времени через единичную площадку из сосуда вылетит dj = vdn/4 молекул рассматриваемой группы. Они унесут энергию dE = 1/4vdn mv^2/2. Полное число молекул, пролетающих через единичную площадку за единицу времени равно j = (интеграл от скорости, равной нулю, до бесконечности)vdn/4, а унесут они суммарную энергию E = (интеграл от скорости, равной нулю, до бесконечности)1/4 vdn m v^2/2

Энергия, приходящаяся на одну вылетевшую молекулу, равна

<e> = E/j = ((интеграл от нуля до бесконечности)mv^2/2 1/4 v Ф(v)dv)/((интеграл от нуля до бнсконечности)1/4 v Ф(v)dv = ((интеграл от нуля до бесконечности)exp(-mv^2/(2kT))v^5dv)/((интеграл от нуля до бесконечности)exp(-mv^2/(2kT))v^3dv = 2kT