19. Физический маятник. Приведённая длина.

Физический маятник – твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка А пересечения её с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника. f – угол отклонения от положения равновесия, кинетическая энергия K=If’²/2, I – момент инерции относительно А. Потенциальная энергия P=mgh, h – высота поднятия ц.масс над его нижним состоянием. a – расстояние между ц.масс и т.подвеса. P=mga(1-cos f)=2mga sin² (f/2), для малых колебаний P=mgaf²/2. Колебания маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой w=V(mga/I) и периодом T=2piV(I/mga).

Малые колебания физического маятника изохронны, т.е. не зависят от амплитуды.

Для математического маятника a=l, I=ml2, где l – длина маятника, по формуле получаем T=2piV(l/g). Физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной l=I/ma. Эта длина называется приведенной длиной физического маятника.

Отложим от точки подвеса A вдоль прямой AC отрезок AA’, длина которого равна приведенной длине физического маятника. Точка A’ – центр качания, т.е. математическая точка, в которой можно сосредоточить всю массу маятника, чтобы период его колебаний остался неизменным. По т-ме Гюйгенса-Штейнера I=I_c+ma², где I_c – момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через ц.масс C. Подставив значение l=I/ma, получим l=a+I_c/ma. Поэтому l>a, причем всем точкам, одинаково удаленным от ц.масс, соответствует одна и та же длина.

Если маятник подвесить за ц.качания, его период не изменится и прежняя т.подвеса станет новым ц.качания. Пусть a’=A’C, при подвесе за т.A’ приведенная длина l’=a’+I_c/ma. Но a’=l-a, a’=I_c/(ma), l’=I_c(ma)+a, т.е. l’=l, приведенная длина и период колебаний не изменились.