21. Возбуждение параметрических колебаний (качели).

Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими.

Рассмотрим маятник переменной длины: l2 – максимальная, l1 – минимальная. Маятник приходит в положение максимального отклонения с длиной l2, удлиняется до длины l1, проходя через положение равновесия, укорачивается до длины l2, идёт до положения максимального отклонения и т.п. f_01 – отклонение вправо, f_02 – отклонение влево (углы).

Запишем закон сохранения энергии:

mgl1(1 – cos f_01) = m(l1*f_01’)^2/2

(спуск справа налево)

Аналогично для подъёма справа налево:

(f_02’)^2 = 2g(1 – cos f_02)/l2

(ml1^2)f_01’ = (ml2^2)f_02’

(f_01’)^2 = (l2/l1)^4 * (f_02’)^2

(l2/l1)^4 (f_02’)^2 = (2g/l1)*(1 – cos f_01)

(l2/l1)^4 *2g(1 – cos f_02)/l2 = (2g/l1)*(1 – cos f_01)

l2^3(1-cos f_02) = l1^3(1 – cos f_01)

l2^3(1 – cos f_0n) = l1^3(1 – cos f_0n+1)

Строим график функции l^3 (1 – cos f_0), он идёт лестницей между графиками функций для l1 и l2. В стиле лестницы Лемерея.

Происходит раскачка, увеличение амплитуды. Можно показать, что E_0n = E_01(1 + k)^(n – 1) – энергия системы без трения растет в геометрической прогрессии.