20.  Колебания СЃ затуханием. Коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность осциллятора Рё РёС… физический смысл. Фазовые траектории осциллятора СЃ затуханием.

Сила F, действующая на колеблющуюся точку, будет суммой квазиупругой силы Fу и силы трения Fтр. При малых скоростях движения сопротивление обычно пропорционально первой степени скорости и направлено противоположно ей, т. е. Fтp = — rv, где r — коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела.

Чтобы решить задачу о колебательном движении при наличии трения, мы вернемся к уже разобранной задаче о гармоническом колебательном движении и найдем строгое математическое ее решение.

m d2x/dt2 = F.

При наличии только силы F=-kx это уравнение примет вид md2x/dt2=-kx.

 F = FСѓ + Fтр= — kx — rv = — kx — Рі dx/dt

md2x/dt2  = - r dx/dt - kx

или

md2x/dt2  + r dx/dt + kx = 0 — дифференциальное уравнение движения материальной точки.

�скомая функция x(t) должна обладать следующим свойством: как первая, так и вторая производная по времени от х(t) должны отличаться от самой функции х(t) лишь численными множителями. Такой функцией в самом общем случае является показательная функция с комплексным показателем степени или произведение показательной функции на синус или косинус. Поэтому будем искать решение дифференциального уравнения в виде

С… = Рђ0e^(-at) cos (wt + f0).

А0e^(-at) {[m (а^2-w^2)-ra + k] cos (wt + f0) + [m*2аw — гw] sin (сwt -f0)} = 0.

Множители Рђ0e^(-at)  здесь можно сократить, так как AРѕ — постоянная, a e^(-at) РЅРё РїСЂРё каком конечном значении t РЅРµ обращается РІ нуль.

Оставшееся выражение будет равно нулю при любых значениях t, если порознь будут равны нулю коэффициенты при cos (wt + f0) и sin (wt + f0).

m(а^2—w^2) - ra + k = 0,

m*2aw – rw = 0.

Решая эти уравнения, находим:

a = r/2m

w = корень(k/m – r^2/4m^2) – амплитуда колебания.

A(t)  = Рђ0e^(-at) является убывающей функцией времени.

График зависимости х от t для затухающих колебаний. Пунктиром на этом рисунке изображена зависимость амплитуды от времени, а сплошной линией — полная зависимость. Чем больше коэффициент трения r, тем больше величина а в показателе степени и тем быстрее амплитуда затухающих колебаний убывает со временем. Напротив, при полном отсутствии трения, когда r = 0, то а = 0, e^(-at)=e° = 1, х = A0 cos (wt + f0), и мы придем к уже рассмотренному случаю чисто гармонических колебаний с угловой частотой w = корень(k/m) = w0. При наличии трения не только убывает со временем амплитуда колебания, но и уменьшается угловая частота колебаний:

w = корень(w0^2 – a^2),

где w0 — угловая частота собственных колебаний точки при отсутствии трения. С увеличением трения период колебаний возрастает, и при а = w0 период становится бесконечным. При дальнейшем увеличении а период Т становится мнимым, а движение точки — апериодическим. Сопоставим при a < w0 значения амплитуды в два соседних момента времени, отличающиеся друг от друга на один период, т. е.

A (t) = Рђ0e^(-at)  Рё A (t+T) = Рђ0e^(-a(t+T)).

Тогда получим:

A(t)/A(t + T) = e^(at) = const

т. е. амплитуда затухающих колебаний за каждый период убывает в одно и то же число раз. Натуральный логарифм этого отношения ln(A(t)/A(t + T)) = aT = d носит название логарифмического декремента затухания.

Материальная точка, на которую действует квазиупругая сила, будучи выведена из положения равновесия х = 0, начнет совершать колебания около этого положения. �з-за наличия сил трения подобные собственные, или, как их иногда называют, свободные колебания точки всегда будут затухающими. Число циклов, на протяжении которых ​размах колебаний осциллятора ​уменьшается в e раз, равно ​деленному на pi значению его ​добротности Q.

Q = w0/2a

Фазовые траектории осциллятора с затуханием – спирали на плоскости, оканчивающиеся в одной центральной точке. Чем больше добротность, тем больше оборотов спирали будет приходиться на единичную длину радиуса.

Например:

S(t) = Ssinwt