Вязкость. Коэффициенты вязкости

Скорости теплового движения всех молекул одинаковы и равны v. Все молекулы разделены на шесть одинаковых потоков, параллельных координатным осям. В передаче количества движения участвуют только два потока, вниз и вверх. Остальные молекулы движутся параллельно сечению. На тепловое движение молекул сверху вниз и снизу вверх накладывается упорядоченное движение вправо скорость этого движения u однозначно определяется координатой молекулы х. �зменения u на длине свободного пробега очень малы по сравнению с v. Тогда можно выбрать такую СО, в которой u также очень мала по сравнению с тепловой скоростью. Возьмём в плоскости сечения единичную площадку S. Начало координат поместим в той же плоскости. посчитаем количество движения, ежесекундно переносимое молекулами газа через площадку S. Число молекул, пересекающее площадку S сверху вниз в единицу времени определяется формулой

N_0 = nv/6

Пусть N из этих молекул прошли перед площадкой путь х без столкновений. Число N определяется формулой N = N_0 exp(-x/l)

�з неё находим, что число молекул, претерпевших последние столкновения в слое между х и х + dx равно

dN = N_0 / l exp (-x/l) dx = nv/(6l) exp (-x/l) dx

При столкновении в этом слое молекулы получают количество движения g(x) и, двигаясь далее без столкновений, переносят его через площадку S. Количество движения, переносимое в единицу времени через площадку S всеми N_0 молекулами определяется интегралом

G_+ = (интеграл)g(x) dN

Так как на длине свободного пробега скорость u меняется мало, то функцию g(x) можно азложить по степеням х, оборвав это разложение на линейном члене. То есть,

g(x) = g_0 + x (dg/dx)_0

В этом приближении G_+ = g_0 (интеграл) dN + nv/(6l) dg/dx (интеграл от нуля до бесконечности) x exp(-x/l) dx = 1/6nv g_0 + 1/6 nvl dg/dx = 1/6 nv g(l).

Можно рассуждать так, как если бы все молекулы, летящие к площадке S, претерпевали бы последнее столкновение на расстоянии l от этой площадки и далее двигались бы к ней без столкновений. Можно пользоваться доказанным положением для сокращения изложения при изучении других явлений переноса. Отметим только, что концентрация n может менять в пространстве. Однако это обстоятельство никак н отразится на справедливости формулы.

По аналогии можно утверждать, что молекулы, летящие снизу вверх переносят в том же направлении количество движения

G_- = 1/6 nv g_0 - 1/6 nv l dg/dx.

Полное количество движения, ежесекундно переносимое через площадку S в положительном направлении оси Х(снизу вверх) найдётся вычитанием G= G_+ - G_- = -1/3nvl dg/dx = -1/3 nmvl du/dx

Этот перенос проявляется в том, что вдоль плоскости сечения действует вязкое касательное напряжение тау_ху = эта du/dx (ньютоновский закон вязкости), где эта = 1/3 nmvl - вязкость.