Броуновское движение. Подвижность частицы. Закон Эйнштейна–Смолуховского

Броуновским движением называется беспорядочное двжение малых частиц, находящихся в жидкости или газе, вызванное случайными ударами молекул окружающей среды.

Закон Эйнштейна–Смолуховского

Пусть маленькая частица движется в среде. На неё действуют два типа сил

а) силы торможения за счёт вязкого трения F_тр(вектор) = v(вектор)/B, величина В называется подвижностью частицы. В частном случае частица сферической формы В = (6 pi R эта)^-1 (формула Стокса)

б) флуктуационная (случайная) сила Х со стороны молекул среды, <X> = 0

С учётом сказанного запишем уравнение движения частицы.

m d^2 r(вектор)/dt^2 = X(вектор) - 1/B dr(вектор)/dt

Уравнения такого типа, учитывающие детерменированные и случайные силы, называется уравнением Ланжевена. Умножая его почленно на r и усредняя по большому числу различных частиц, получим.

m/2 d^2 /dt^2 <r^2> + 1/2B d/dt<r^2> = m<v^2> + <rX>

Здесь использовано тождество

r d^2 r/dt^2 = 1/2 d^2 (r^2)/dt^2 - (dr/dt)^2

Вследствие случайного характера силы Х полагаем среднее эр Х = 0.

Учтём также, что в соответствии с теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы

<mv^2/2> = 3/2 kT

Это приводит к уравнению

m/2 d^2/dt^2 <r^2> +1/2B d/dt <r^2> = 3kT

<r^2> = r_0^2 + 6kTBt + C exp(-t/(mB))

Здесь r_0^2 и C - константы интегрирования, определяемые из начальных условий. При t >> mB получаем закон Эйнштейна-Смолуховского

<r^2> = r_0^2 + 6kTBt

Величину r_0 можно интерпртировать следующим образом. Пусть в начальный момент t=0 имеется набор частиц ("рой"), срднеквадратичной ресстояние которых от центра r = 0 равно r_0. Тогда з-н Э-С даёт среднекв.р. такого рода в последующие моменты времени т больше нуля.

Связь подвижности и коэффициента диффузии

Броуновское движение частиц аналогично процессу диффузии. поэтому подвижность В оказывается связанной с коэффициентом диффузии D. Эта связь может быть установлена слеующим путём. В соответствии с определением подвижности средння скорость u дрейва молекул под действием силы F равна u = BF. Пусть сила F - потенциальная, F = - (оператор гамильтона)U. Тогда согласно распределению Больцмана n(r) = n_0 exp(-U(r)/kT). Соответственно диффузионный поток оказывается равным j_D = - D (оператог г)n = D /kT n_0 exp(-U/kT) (ог)U = -nD/kT F.

С другой стороны, под действием силы F возникает поток j_F = nu = nBF. В состоянии равновесия сумма потоков равна нулю. Отсюда формула Эйнштейна

D = kTB

З-н броуновского движения можно записать в виде.

<r^2> = r_0^2 + 6Dt