5. Движение тела с переменной массой: уравнение Мещерского, реактивная сила, формула Циолковского.
Здесь масса меняется за счет потери или приобретения вещества. Пусть m(t) – масса ракеты в произвольный момент времени t, v(t) – скорость. Первоначальный импульс mv. Через время dt импульс ракеты (m+dm)(v+dv). Импульс образовавшихся газов dmг*vг, dm+dmг=0. Изменение импульса равно Fdt, F – сумма внешних сил. (m+dm)(v+dv)+dmгvг – mv = Fdt. dm*dv->0. v1=vг-v – скорость истечения газов. Имеем
mdv=v1dm+Fdt. – уравнение Мещерского, или уравнение движения точки с переменной массой.
При делении на dt получаем mdv/dt=v1 dm/dt+F, v1 dm/dt – реактивная сила, т.е. сила, с которой на ракету действуют вытекающие газы.
В случае F=0: mdv=v1dm. Пусть ракета движется прямолинейно в направлении истечения газов. Примем направление полета за положительное. Mdv=-v1dm. В случае v1=const получаем v=-v1*S(dm/m)=-v1 ln m + C. При v(0)=0 C=v1 ln m0, тогда
m0/m = exp(v/v1) – формула Циолковского.
m0/m = ((1+v/c)/(1-v/c))^(c/2v1) – релятивистская формула.
