Теплоёмкость. Теплоёмкости CV и CP. Общее выражение для CP – CV . Соотношение Майера

Теплоёмкость

Теплоёмкостью называется количество теплоты, необходимое для изменения температуры на один градус (на одну единицу шкалы температуры). Эта величина зависит от процесса.

С = дельта Q/dT

Теплоёмкости CV и CP

В частности, используются теплоёмкости при постоянном объёме и постоянном давлении:

С_v = (дельта Q/dT)_v

С_p = (дельта Q/dT)_p

Для этих теплоёмкостей можно получить другие выражения. Перепишем первое начало термодинамики в виде

дельта Q = CdT = dU + PdV

Отсюда при V = const, dV = 0 следует дельта Q = C_v dT = dU и

C_v = ((дельта U)/(дельта T))_v

Для случая P = const

дельта Q = c_p dT = dU + PdV = d(U + PV) == dH

Здесь введена функция H = U + PV, называемая энтальпией. Таким образом, получаем выражение для С_р

C_p = ((дельта H)/(дельта T))_p

Общее выражение для CP – CV

C = дельта Q/dT = (dU + PdV)/dT

Так как dU = ((дельта U)/(дельта Т))_v dT + ((дельта U)/(дельта V))_T dV, то

C = ((дельта U)/(дельта Т))_v + [((дельта U)/(дельта V))_T + P] dV/dT

В случае V = const dV = 0 и C_v = ((дельта U)/(дельта Т))_v

Если же постоянно давление, то получим:

C_p = ((дельта U)/(дельта Т))_v + [((дельта U)/(дельта V))_T + P] ((дельта V)/(дельта T))_p

C_p - C_v = [((дельта U)/(дельта V))_T + P] ((дельта V)/(дельта T))_p

Общее выражение для CP – CV Через Энтропию

TdS = дельта Q = CdT

C = T(dS/dT)

Cv = T(dS/dT)v

Cp = T(dS/dT)p

dS = (dS/dT)vdT + (dS/dV)_TdV

(dS/dT)p = (dS/dT)v + (dS/dV)_T(dV/dT)p

Cp/T = Cv/T + (dS/dV)_T(dV/dT)p

Cp - Cv = T(dS/dV)_T(dV/dT)p = T(dP/dT)v(dV/dT)p

Соотношение Майера

CdT = dU + PdV

Для идеального газа dU = C_v dT

Для изобарического процесса:

C_p dT = dH = d(U + PV) = d(U + РЅСЋRT) = (C_v + РЅСЋ R)dT

C_p - c_v = ню R - соотношение Майера.

Введём обозначение гамма = С_р/С_v

C_v = ню R/(гамма - 1)

C_р = гамма ню R/(гамма - 1)

В частности, для идеального газа находим:

С_v = ((дельта U)/(дельта Т))_v = 3/2 ню R, C_p = 5/2 ню R

Если С_v = const, то с учётом формулы Майера получаем следующие выражения для внутренней энергии идеального газа:

U = C_v T = ню RT/(гамме - 1) = PV/(гамма - 1)