Конспект Гл.1 учебника А.В.Ершова "Лекции по линейной алгебре" 1.1. Декартово произведение X × Y : множество всех пар: {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } 1.2. Взаимно-обратная биекция: fg=idS 1.3. Отношение R на множестве X: произвольное подмножество пар {(x, y) | x ∈ X, y ∈ X } 1.5. Отношение эквивалентности R на множестве X: подмножество пар связанных свойствами: 1)(x,x) ∈ R (рефлективность) 2)(x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R (симметричность) 3)(x,y) ∈ R, (y,z) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R (транзитивность) x ∼ y (x - эквивалентно y) [x] := {y ∈ X | y ∼ x} - класс эквивалентности, x - представитель класса 1.7. Разбиение множества X - представление в виде объединения непересекающихся множеств (1.8.) Фактормножество - множество классов эквивалентности. 1.13. Абелева группа: Пара (A,+), где A - множество, "+" - бинарная операция ("сложение") : a + b = c, (a,b,c ∈ A) 1)a + b = b + a (коммутативность) 2)(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность) 3)a + 0 = a (существование нуля) 4)a + (-a) = 0 (существование противоположного элемента) (если (1) - то группа "коммутативная", иначе - "не коммутативная") 1.16. Изоморфизм групп: возможность построение биекции (взаимно однозначного соответствия) между группами с сохранением групповой операции (для каждой из этих групп она может быть своя) 1.18. B - подгруппа A, если: 1)B - группа с той же групповой операцией, что и A (0 ∈ B, b1 + b2 ∈ B, (-b) ∈ B (замкнуто относительно нуля, операции сложения и обратного элемента) 2)B ∈ A 1.21. Согласованное с бинарной операцией "∗" отношение эквивалентности: x ∼ x′, y ∼ y′ ⇒ x ∗ y ∼ x′ ∗ y′ (определяет бинарную операцию на фактормножестве: [x] ◦ [y] := [x ∗ y]) 1.25. Поле: тройка (K, +, ·) (где К - множество, "+", "·" - операции ("сложение", "умножение"): 1)(K, +) — абелева группа 2)(K∗, ·) — абелева группа (K∗ - множество K без нулевого для "+" элемента, и в этом случае "существование нуля" заменяется на "сущуствование единицы") 3)(a + b) · c = a · c + b · c (и вследствие коммутативности операций: a · (b + c) = a · b + a · c) 1.31. Векторное пространство (линейное пространство) над полем K: тройка (V, +, ·) (где где V - множество, "+", "·" - операции ("сложение", "умножение на скаляр (из множества K)"): 1)(V, +) — абелева группа 2)1·v = v, (λ µ)·v = λ · (µ · v) 3)(λ + µ) · v = λ · v + µ · v , λ · (u + v) = λ · u + λ · v (K обычно вещественные (R) или комплексные (С). "·" принято не писать, т.е. λ · v = λv) (нулевое векторное пространство состоит только из одного нулевого вектора) 1.32. Тождества векторного пространства: 1) λ0 = 0 2) λ(−v) = −λ 3) 0v = 0 4) (−1)v = −v 1.37. U - векторное подпространство векторного пространства V, если: 1)U ⊂ V 2)(U,+) - подгруппа V 3)λ u ∈ U ∀ u ∈ U, λ ∈ R (нулевое пространство является подпространством любого векторного пространства) 1.38. Системой n векторов пространства V называется отображение: f : {1, 2, . . . , n} → V (т.е. векторов в системе n и они упорядочены) Система векторов {v1, . . . , vn} называется линейно независимой, если нулевой вектор по ней раскладывается единственным образом — с нулевыми коэффициентами, то есть если из λ1v1+λ2v2+. . .+λnvn = 0 следует, что λ1 = . . . = λn = 0. В противном случае система линейно зависима. 1.39. Базисом в векторном пространстве V называется такая система векторов {e1, . . . , en} пространства V , что произвольный вектор v ∈ V однозначно представляется в виде линейной комбинации v = v1e1 + . . . + vnen (2) векторов данной системы. Упорядоченный набор чисел (v1, . . . , vn) называется координатами вектора v в базисе {e1, . . . , en} 1.40. Кольцо: тройка (K,+,·) (где К - множество, "+", "·" - операции ("сложение", "умножение"): 1)(K, +) — абелева группа 2)(K∗, ·) — группа, в которой часть может не выполняться часть или все условия для групповой операции "·": 2.1)a · b = b · a (коммутативность) 2.2)(a · b) · c = a · (b · c) (ассоциативность) 2.3)a · 1 = a (существование единицы) 2.4)a · (-a) = 1 (существование противоположного элемента) 3)(a + b) · c = a · c + b · c, a · (b + c) = a · b + a · c (Если все условия 2.1-2.4 выполняется, то это - Поле) 1.41. Алгебра над полем K: четверка (K,+,·, *) (где К - множество, "+", "·", "*" - операции ("сложение", "умножение", "умножение на скаляр")(в учебнике умножение на скаляр не обозначается звездочкой, а подразумевается, что если действие умножения между элементами пространства, то это умножение "·", т.е.: ab - умножение "."; λa - умножение "*", где λ ∈ K, a, b ∈ A) 1)(K, +,·) — кольцо 2)(K, +,*) — векторное пространство 3)(λa)b = a(λb) = λ(ab) ∀ λ ∈ K, a, b ∈ A В зависимости от того, что есть в кольце, алгебра называется ассоциативной, коммутативной, с единицей и т.п.
