Матрицы линейного отображения и преобразования для конечномерных пространств. Операции над линейными преобразованиями в координатной форме. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов.

Координатная запись отображений. Рассмотрим линейные пространства Y и Y’размерностей n и m и линейное отображение A: Y->Y’. Пусть е₁ е₂..е_n базис в Y. тогда образ произвольного вектора x=e₁+…+e_n раскладывается в линейную комбинацию

A(x)=A(e₁)+…A(e_n) ) (3)

Значит А(х) может быть найден по координатам х, если известны образы базисных векторов А(е₁)..А(е_n).

Выберем также базис в пространстве Y’. Пусть это f₁…f_m. Каждый из образов базисных векторов мы можем разложить по f.

Если компоненты вектора А(х) мы обозначим через h1..hm то равенство (3) можно переписать так

Отсюда в силу единственности разложения по базису

(4)

Если мы составим матрицу А из чисел то равенства (4) могут быть записаны в матричной форме

h=A

Или подробнее

= (5)

Здесь координатный столбец образа вектора х (в базисе f) выражен как произведение матрицы А размеров m на n на координатный столбец вектора х в базиве е.

Матрицей линейного отображения А: Y->Y’ в паре базисов е и f называется матрица, столбцы которой (в их естественном порядке) – координатные столбцы векторов А(e₁)..A(e_n) в базисе f.

При выбранных в пространствах Y Y’ базисах каждая матрица размеров m на n служит матрицей некоторого линейного отображения Y->Y’.

Предложение 4. Ранг матрицы линейного отображения равен рангу этого отображения.

Доказательство. Пусть j₁..j_r номера базисных столбцов матрицы А линейного отображения А. Тогда векторы А(е__j1)…A(e__jr) линейно независимы и каждый из векторов А(e_i)(i=1..n)по ним раскладывается. Следовательно, мы можем разложить образ А(х) любого вектора только по А(е__j1)…А(е__jr). Таким образом, эти векторы образуют базис в ImA, и их число равно рангу А.

Предложение 5. Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства.

Доказательство. Согласно формуле (5) ядро отображения определяется системой линейных уравнений A c n неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображения r. Фундаментальная система решений этой системы состоит из d=n-r решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре.

Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов

Рассмотрим линейное отображение А:Y->Y’. Если в пространствах выбраны базисы e и f, то А определяется матрицей А. Пусть другая пара базисов e’ и f’ связана с е и f матрицами перехода S и P, и в базисах e’ и f’ отображение А имеет матрицу А’. Наша задача – найти связь между матрицами A и А’.

Рассмотрим произвольный вектор х пространства Y и его образ y=A(x). Обозначим координатные столбцы x в базисах e и e’ соответственно через а координатные столбцы y в базисах f и f’ через h и h’.Согласно формуле перехода к новому базису Подставив эти выражения в формулу (5) мы получаем Ph’=AS. Поскольку матрица перехода имеет обратную h’=AS. Но по формуле (5) h’=A’Так как матрица линейного отображения для данной пары базисов единственна, мы получаем

A’=AS

Канонический вид матрицы линейного отображения

Для любого линейного отображения А:Y->Y’ ранга r можно так выбрать базисы в Y Y’ что оно будет иметь матрицу

A=

Где Er- единичная матрица порядка r, остальные элементы если есть равны 0.

Доказательство. Поместим векторы .. базиса пространства Y в Ker A(его размерность как раз равна n-r) а векторы … можем выбрать произвольно. В силу такого выбора при любом базисе Y’ последние n-r столбцов матрицы А будут нулевыми. Так как RgA=r первые столбцов должны быть линейно независимы. Поэтому линейно независимыми будут векторы A()..A(). Примем их за первые r базисных векторов в пространстве Y’, а отсальные векторы ..этого базиса выберем произвольно. При таком выборе первые r столбцов А будут первыми r столбцами единичной матрицы порядка m. Это и есть искомый вид.

Комментарии