Устный экзамен по матану (4 сессия)

Программа экзамена (текстом):

1) Теорема Римана об осцилляции. Стремление к нулю коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемой функции.

2)Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом Дирихле. Принцип локализации.

3)Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.Сходимость ряда Фурье для кусочно гладкой функции.

4)Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывных функций.

5)Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами.

6)Дифференцирование рядов Фурье.Порядок убывания коэффициентов Фурье.

7)Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье. Скорость сходимости ряда Фурье для периодической функции с кусочно непрерывной производной k-го порядка.

8)Полином Лежандра, полнота системы полиномов Лежандра в C и L₂.

9) Минимальное свойство коэффициентов Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя.

10) Полнота ортогональной системы функций, разложение в ряд Фурье и равенство Парсевалля.

11)Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственных интегралов, зависящих от параметра.

12)Равномерная сходимость несобственных интегралов. 12)Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграллов зависящих от параметра.

13)Непрерывность и интегрируемость несобственных интегралов, зависящих от параметра.

14)Дифференцирование несобственных интегралов по параметру.

15)Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье. Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции. Формулы обращения.

16)Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.

17)Пространства основных и обобщенных функций. Дифференцирование обобщенных функций.δ - функция.

Программа экзамена (скриншотами из Тер-Крикорова):
1. Теорема (лемма) Римана. Стремление к нулю коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемой функции.
2. Представление частичной суммы ряда Фурье интегралом через ядро Дирихле. Принцип локализации.
З. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.
4. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье.
5. Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье.
6. Равномерная сходимость сумм Фейера для непрерывной функции.
7. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя.
9. Полнота ортогональной системы функций, ортонормированный базис и равенство Парсеваля.
10. Полнота тригонометрической системы в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. Сходимость ряда Фурье в среднем квадратичном равенство Парсеваля.
11. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственных интегралов, зависяших от параметра.
12. Равномерная сходимость несобственных интегралов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов, зависяших от параметра.
13. Непрерывность и интегрируемость несобственных интегралов, зависяших от параметра.
14. Дифференцирование несобственных интегралов по параметру.
15. Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье. Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции. Формулы обращения.
16. Преобразование Фурье производной и производная преобразования Фурье.
17. Пространства основных и обобщенных функций. Дифференцирование обобщенных функций. Дельта-функция.