Система Orphus

Система Orphus

Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье. Скорость сходимости ряда Фурье для периодической функции с кусочно непрерывной производной k-го порядка.

Пусть при m \in \mathbb{N} - периодическая функция fимеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную f(m).

Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и

\max_{x \in \mathbb{R}}|f(x)-S_n(x;f)|=O\left(\frac{\ln n}{n^m}\right)=o\left(\frac{1}{n^{m-\varepsilon}}\right) при n \to \infty и \mathcal{8}\varepsilon > 0

Случай m = 1 совпадает с теоремой. Пусть \varphi:=f^{(m-1)} и αkk - коэффициенты Фурье функции \varphi. По теореме

\sup_{x \in \mathbb{R}}\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx)\right|\leqslant C \frac{\ln n}{n}\,\,\,\mathcal{8}n\geqslant 2\quad (1)

Пусть ak,bk-коэффициенты Фурье функции f.

1)Пусть сначала m − 1-четно. Тогда в силу m − 1 раз примененной теоремы при x \in \mathbb{R} имеем

|r_n(x;f)|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^{m-1}}(\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx))\right|

В силу (1)

|r_n(x;f)|\leqslant C\frac{\ln n}{n}\frac{1}{(n+1)^{m-1}}\leqslant C\frac{\ln n}{n^m}

соотношение в этом случае установлено.

2)Пусть теперь m − 1 - нечетно. Тогда |r_n(x;f)|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^{m-1}}(\alpha_k\sin(kx)-\beta_k\cos(kx))\right|

по лемме для рядa \sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\sin(kx)-b_k\cos(kx) справедливо соотношение

\sup_{x \in \mathbb{R}}\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\sin(kx)-b_k\cos(kx)\right| < C\frac{\ln n}{n}

В силу (1)

|r_n(x;f)|\leqslant C\frac{\ln n}{n}\frac{1}{(n+1)^{m-1}}\leqslant C\frac{\ln n}{n^m}

соотношение в этом случае установлено.


Система Orphus

Комментарии