Сказать "Спасибо"

Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье. Скорость сходимости ряда Фурье для периодической функции с кусочно непрерывной производной k-го порядка.

Пусть при $m \in \mathbb{N}$ $2π$ - периодическая функция $f$ имеет непрерывные производные до порядка $m - 1$ включительно и кусочно непрерывную производную $f (m)$ .

Тогда ряд Фурье функции $f$ сходится к $f$ равномерно и

$\max_{x \in \mathbb{R}}|f(x)-S_n(x;f)|=O\left(\frac{\ln n}{n^m}\right)=o\left(\frac{1}{n^{m-\varepsilon}}\right)$ при $n \to \infty$ и $\mathcal{8}\varepsilon > 0$

Случай $m = 1$ совпадает с теоремой. Пусть $\varphi:=f^{(m-1)}$ и $α k,β k$ - коэффициенты Фурье функции $\varphi$ . По теореме

$\sup_{x \in \mathbb{R}}\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx)\right|\leqslant C \frac{\ln n}{n}\,\,\,\mathcal{8}n\geqslant 2\quad (1)$

Пусть $a k, b k$ -коэффициенты Фурье функции $f$ .

1)Пусть сначала $m - 1$ -четно. Тогда в силу $m - 1$ раз примененной теоремы при $x \in \mathbb{R}$ имеем

$|r_n(x;f)|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^{m-1}}(\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx))\right|$

В силу (1)

$|r_n(x;f)|\leqslant C\frac{\ln n}{n}\frac{1}{(n+1)^{m-1}}\leqslant C\frac{\ln n}{n^m}$

соотношение в этом случае установлено.

2)Пусть теперь $m - 1$ - нечетно. Тогда $|r_n(x;f)|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k^{m-1}}(\alpha_k\sin(kx)-\beta_k\cos(kx))\right|$

по лемме для рядa $\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\sin(kx)-b_k\cos(kx)$ справедливо соотношение

$\sup_{x \in \mathbb{R}}\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\sin(kx)-b_k\cos(kx)\right| < C\frac{\ln n}{n}$

В силу (1)

$|r_n(x;f)|\leqslant C\frac{\ln n}{n}\frac{1}{(n+1)^{m-1}}\leqslant C\frac{\ln n}{n^m}$

соотношение в этом случае установлено.

Сказать "Спасибо"

Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье. Скорость сходимости ряда Фурье для периодической функции с кусочно непрерывной производной k-го порядка.

Комментарии