Система Orphus

Порядок убывания коэффициентов Фурье.

Пусть 2π- периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка m\in\mathbb{N}.

Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются оценки

|a_k|+|b_k|=o\left(\frac{1}{k_m}\right) при k \to \infty

Пусть m \geqslant 1 и

f^{(m)}(x)\sim\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k\cos(kx)+\beta_k\sin(kx)

Применяя m раз теорему, получаем что

|\alpha_k|+|\beta_k|=k^m(|a_k|+|b_k|),\,k\in\mathbb{N}

Поскольку коэффициенты Фурье \alpha_k,\,\beta_k \to 0(k \to \infty), из последнего равенства получаем изначальное утверждение.


Система Orphus

Комментарии