Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве $L$ называется функция $k$ , значение которой на любом векторе $x$ определяется равенством $k(x)=b(x,x)$ , где $b$ - симметричная билинейная функция .

Определение. Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей билинейной функции.

Мы имеем следующее выражение значения квадратичной формы через координатный столбец вектора:

$k(x)~=~\xi^T B \xi$

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы $k$ существует базис, в котором она имеет диагональный вид.

Доказательство. Пусть $B$ - матрица квадратичной формы $k$ в каком-либо базисе. Применим к матрице $B$ последовательность элементарных преобразований, которую для удобства описания разобьем на ряд шагов. На первом шаге возможны два случая.

1) Основной случай: $\beta_{11}\ne 0$ . Если это так, вычитаем первую строку, умноженную на подходящие множители ( $\beta_{1i} / \beta_{11}$ для $i$ -й строки), из всех лежащих ниже строк и вычитаем первый столбец, умноженный на те же множители, из всех столбцов правее него. В результате матрица $B$ перейдет в матрицу $B_1$ вида

$\begin{Vmatrix} \varepsilon_1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & & &\\ \vdots& &C_1&\\ 0 & & &\end{Vmatrix}$ ,

где $C_1$ - симметричная матрица порядка $n-1$ ,

2) Особый случай: $\beta_{11}=0$ . Здесь имеются две возможности.

a) $\beta_{1i}=0$ для всех $i=2,\ldots, n$ . При этом матрица уже имеет нужный вид.

б) Найдется $i$ , для которого $\beta_{1i}\ne 0$ . При этом делается вспомогательное преобразование: если $\beta_{ii}\ne 0$ , то $i$ -я строка переставляется с первой, и $i$ -й столбец переставляется с первым; если же $\beta_{ii}=0$ , то $i$ -я строка прибавляется к первой и $i$ -й столбец прибавляется к первому. В преобразованной матрице оказывается $\beta'_{11}\ne 0$ . После вспомогательного преобразования матрица приводится к виду (10) так же, как и в основном случае.

Пусть в результате $k$ шагов мы получили матрицу

$B_k=\begin{Vmatrix} \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \varepsilon_1 & \cdots & 0\\ &\ddots&\\ 0 & \cdots & \varepsilon_k \end{matrix}&0\\ \hline 0 & C_k \end{array} \end{Vmatrix}$

Здесь $C_k$ - симметричная матрица порядка $n-k$ .

Следующий, $(k+1)$ - й шаг состоит в такой элементарной последовательности преобразований последних $n-k$ столбцов матрицы $B_k$ , которая равносильна применению первого шага к матрице $C_k$ . В результате мы получаем матрицу $B_{k+1}$ , имеющую тот же вид с большим на $1$ значением $k$ . После $(n-1)$ - го шага матрица $C_{n-1}$ имеет порядка 1 и не нуждается в преобразовании. В результате матрица $B$ будет превращена в диагональную матрицу

$B'=\begin{Vmatrix} \varepsilon_1& &\\ &\dots& \\ & & \varepsilon_n \end{Vmatrix}$

Д.В. Беклимишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.стр.199.

Сказать "Спасибо"

Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.

Комментарии