Построение

Построение поля Голуа $\mathbb{GF}(p^n)$

Построить простое поле $\mathbb{GF}(p)=\{0,1,\ldots,p-1\}$ , если $n=1$ , то поле построено
Выбрать неприводимый многочлен степени $n$ над полем $\mathbb{Z}_p$
Строить $\mathbb{GF}(p^n)$ как факторкольцо $\mathbb{K}=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle$ - поле построено.

Элементами поля $\mathbb{K}$ являются все многочлены степени меньшей $n$ с коэффициентами из $\mathbb{Z}_p$ . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена $f(x)$ , то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на $f(x)$ с приведением коэффициентов по модулю $p$ .

Свойства

Характеристика конечного поля является простым числом.
Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: $|\mathbb{F}_q|=q=p^n$ .
Для каждого простого числа $p$ и натурального $n$ существует конечное поле из $q=p^n$ элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена $x^q-x\in\mathbb{F}_p[x]$ .
Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент $\alpha$ , порядок которого равен $q-1$ , то есть $\alpha^{q-1}=1$ и $\alpha^i \neq 1$ для $0<i<q-1$ .
- Любой ненулевой элемент $\beta$ является некоторой степенью примитивного элемента:
  $\beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}$ .
Поле $\mathbb{F}_{p^n}$ содержит в себе в качестве подполя $\mathbb{F}_{p^k}$ тогда и только тогда, когда $k$ является делителем $n$ .